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Studienbegriff Chi-Quadrat: Vergleich von beobachteten und erwarteten Verteilungen

Football ist ein aggressiver Sport und Knochenbrüche sind bei den Spielern relativ häufig. Klar, würde man sagen, beim Spiel geht´s ja auch hoch her. Aber könnte es auch sein, dass die Spieler einfach Draufgänger sind und sich ihre Knochen genau so häufig im Straßenverkehr brechen?

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest oder Chi-Quadrat-Test

Studienbegriffe: Beobachtete Häufigkeit

Um die Frage zu beantworten, ob die Zahl der Knochenbrüche unabhängig von dem ist, was die Spieler gerade taten, braucht man diesen Test. Es ist ein häufiger Test medizinischer Studien. Die Daten sind nominale Zahlen, also die „gezählten“ Häufigkeiten und keine Mittelwerte oder Prozentwerte.

Beobachtet wurden folgende Häufigkeiten:

  • Spiel: 135
  • Training: 121
  • Auto fahren: 45
  • andere: 189
  • Summe: 490

Studienbegriffe: Erwartete Häufigkeit

Wenn es keinen Zusammenhang zwischen Tätigkeit und Zahl der Knochenbrüche gibt (Null-Hypothese), würde man erwarten, dass sich die Knochenbrüche entsprechend der Dauer der Tätigkeiten gleichmäßig verteilen. Spiele finden selten statt, sie machen 3% der Zeit eines Spielers aus, Training dauert mit 21% schon etwas länger. Autofahren 11% und andere Tätigkeiten 65%. Daraus ergeben sich die Häufigkeiten, die man proportional zur Dauer einer Tätigkeit erwarten würde.

Erwartete Häufigkeit:

  • Spiel: 14,7
  • Training: 102,9
  • Auto fahren: 53,9
  • andere: 318,5
  • Summe: 490

Auswertung der Studie: Berechnung Chi-Quadrat

Es ist gar nicht so schwer:

  1. Für jede dieser Kategorien wird nun die Differenz zwischen den beobachteten und erwarteten Werten berechnet:
    für „Spiel“ 135- 14,7 = 120,3 und fürs „Training“ 121 – 102,9 = 18,2 usw.
  2. Die Differenz jeder Kategorie nun zum Quadrat:
    120,32 (= 14472,1) usw.
  3. Das Quadrat jeder Kategorie wird nun durch den erwarteten Wert geteilt:
    Für das „Spiel“ sind das 14472,1 / 14,7 = 984, 49.
    Für das Training 327,61 /102,9 = 3,18.
  4. Die Werte aller Kategorien werden aufsummiert und ergeben
    χ2 = 1041,8

Blick in die Tabelle: Freiheitsgrad und p-Wert

Berechnung von Chi-Quadrat für die Publikation medizinischer Studien.Nun brauchen wir noch den „Freiheitsgrad“, das ist die Anzahl der Kategorien − 1: In unserem Beispiel sind es also „3“.

Wenn die Nullhypothese falsch ist und die Zahlen also nicht gleichmäßig verteilt sind, sollte der P-Wert klein sein (bzw. kleiner als die vorab festgelegte Grenze von zum Beispiel 0,05) – die Nullhypothese ist dann sehr unwahrscheinlich.

Um nun für sein χ2 den dazugehörigen P-Wert ungefähr zu ermitteln, kann man die Chi-Quadrat-Verteilungstabelle benutzen: Nach unten sind dort die Freiheitsgrade angegeben und nach rechts die P-Werte. Man such also die Zeile seines Freiheitsgrades (Anzahl der Kategorien – 1) und wandert nach rechts bis man einen Wert gefunden hat, der größer ist als das Chi-Quadrat, das man berechnet hat.

Dann wandert man nach oben und erhält den entsprechenden P-Wert. In unserem Beispiel ist er sehr, sehr klein und auf jeden Fall kleiner als 0,05.

Mit p < 0,05 ist die Nullhypothese also sehr unwahrscheinlich und die Knochenbrüche verteilen sich nicht gleichmäßig, also nicht entsprechend der Dauer der Tätigkeiten. Sie treten gehäuft während eines Spieles auf.

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